什么是回归模型？两个例子告诉你

在机器学习和统计领域线性回归模型是最简单的模型之一。这意味着人们经常认为对线性回归的线性假设不够准确。

例如SEO关键词人们经常认为对线性回归的线性假设不够准确。

图1 同一数据集的两种不同线性回归模型

若对此表示惊讶那么本文值得你读一读。本文试图解释对线性回归模型的线性假设以及此类线性假设的重要性。

从最简单的例子开始。给定3对（xy）训练数据：（2,4）、（5,1）、（8,9）进行函数建模发现目标变量y和输入变量x之间的关系。

图2 本文中使用的训练数据集

这一模型最为简单如下所示：

通过运用该简单的线性函数可模拟x和y之间的关系。关键在于该函数不仅与输入变量x成线性关系而且与参数a、b成线性关系。

当前目标是确定最符合训练数据的参数a和b的值。

这可通过测量每个输入x的实际目标值y和模型f（x）之间的失配来实现并将失配最小化。这种失配（=最小值）被称为误差函数。

有多种误差函数可供选择但其中最简单的要数RSS即每个数据点x对应的模型f（x）与目标值y的误差平方和。

利用误差函数的概念可将“确定最符合训练数据的参数a、b”改为“确定参数a、b使误差函数最小化”。

计算一下训练数据的误差函数。

上面的等式就是要求最小值的误差函数。但是怎样才能找到参数a、b得到此函数的最小值呢？为启发思维需要将该函数视觉化。

图3 误差函数的第一个模型

从上方的3D图来看人们会本能地猜测该函数为凸函数。凸函数的优化（找到最小值）比一般数学优化简单得多因为任何局部最小值都是整个凸函数的最小值。（简单来讲就是凸函数只有一个最小点例如“U”的形状）由于凸函数的这种特性通过简单求解如下的偏微分方程便可得到使函数最小化的参数。

下面解下之前的例子吧。

通过求解上面的等式得到a = 5/6、b = 1/2。因此第一个模型（最小化RSS）如下所示：

图4 第一个模型

现在对于相同的数据点可考虑如下的另一模型：

如上所示该模型不再是输入变量x的线性函数但仍是参数a、b的线性函数。

下面看下这一变化对模型拟合过程的影响。我们将使用与前一示例相同的误差函数——RSS。

如上所示等式看起来与前一个非常相似。（系数的值不同但方程的形式相同。）该模型的可视化图像如下：

图5 误差函数的第二个模型

两个模型的形状看起来也很相似仍然是凸函数。但秘密在于当使用训练数据计算误差时输入变量作为具体值给出（例如x²的值在数据集中给定为2Seo-6.Com2、52和8²即（2,4）、（5,1）、（8,9））。因此无论输入变量的形式多复杂（例如x、x²、sin（x）、log（x）等……）给定的值在误差函数中仅为常数。

误差函数的第二个模型也是凸函数因此可通过与前一示例完全相同的过程找到最佳参数。

通过求解上面的等式得到a = 61/618、b = 331/206。所以第二个模型如下所示：

图6 第二个模型

上述2个例子的求解过程完全相同（且非常简单）即使一个为输入变量x的线性函数一个为x的非线性函数。两个模型的共同特征是两个函数都与参数a、b成线性关系。这是对线性回归模型的线性假设也是线性回归模型数学单性的关键。

标签： 模型误差线性函数